Александр Байбаков возглавил Арбитражный суд Саратовской области в 2007 году. В 2013 году срок его полномочий указом Президента РФ был продлен еще на 6 лет. Работу в судебных органах Александр Байбаков начинал еще в 1987 году, с должности народного судьи Центрального районного народного суда Волгограда. В Саратов он впервые пришел в 1992 году на должность судьи Ленинского райсуда, в 1994 году перешел на работу в областной суд, потом снова уехал в Волгоградскую область, где занимал должность председателя Михайловского райсуда до момента своего назначения в Саратовский обларбитраж. Александр Байбаков имеет первый квалификационный класс судьи, в 2014 году был награжден медалью «За заслуги перед судебной системой Российской Федерации».